Assignment 1 - Condicional Possibility Measures#
O objetivo desse texto é introduzir uma medida de possibilidade condicional e um exemplo numérico. Começamos definindo um espaço de possibilidade (\(\Omega\), \(\mathcal{A}\), \(\Pi\)) em que \(\Omega\) é o conjunto universo, \(\mathcal{A}=2^\Omega\) é uma familia de subconjuntos de \(\Omega\) e \(\Pi:\mathcal{A} \rightarrow [0,1]\) é uma medida de possibilidade. Isto é, \(\pi: \Omega \rightarrow [0,1]\) é uma distribuição de possibilidades, então \(\Pi\) satisfaz: $\( \begin{align} \Pi(A) = \sup_{w \in A}\pi(w),\ \forall A \in \mathcal{A} \\ \Pi(\Omega) = 1\ \text{ e }\ \Pi(\varnothing) = 1 \end{align} \)$
Prade e Dubois[1] citam duas medidas de possibilidade condicional. Aqui apresentamos apenas a primeira medida apresenta por eles, em que a nova informação \(B\) altera a distribuição de possibilidades fazendo impossíveis todos os elementos de \(\Omega\) que não estão em \(B\). É preciso que \(B\) seja um evento possível, ou seja, \(\Pi(B)= 1\).
Seja \(\pi(\cdot \mid B): \Omega \rightarrow [0,1]\) a nova distribuição de possibilidades dada a informação de \(B\): $\( \pi(w \mid B) = \begin{cases} \frac{\pi(w)}{\Pi(B)}, & \text{se}\ w \in B \\ 0, & \text{caso contrário} \end{cases} \)$
Com isso, definimos a possibilidade de \(A\) dado \(B\) é \(\Pi(A \mid B) := \sup_{w \in A}\pi(w \mid B)\) que também é uma medida de possibilidade pois satisfaz os itens 1 e 2.
Exemplo: Suponha um experimento de lançar um dado equilibrado de 6 faces e obervar a face voltada para cima. Nesse caso, consideramos todas as seis faces como plenamente possíveis. Desse mode, \(\Omega = \{1,2,3,4,5,6\}\), \(\mathcal{A}=2^\Omega\) e \(\pi(w) = 1 , \forall w \in \Omega\).
Suponha que surge a informação de que a face voltada para cima é maior que três: \(B = \{4,5,6\}\). Com isso, podemos definir uma distribuição de possibilidade condicional: $\( \pi(w \mid B) := \begin{cases} \frac{\pi(w)}{\Pi(B)}, & \text{se}\ w \in B \\ 0, & \text{caso contrário} \end{cases} = \begin{cases} 1, & \text{se}\ w \in \{4,5,6\} \\ 0, & \text{se}\ w \in \{1,2,3\} \end{cases} \)\( e \)\ \Pi(A \mid B) := \sup_{w \in A}\pi(w \mid B)$.
Portanto, se estamos interessados na possibilidade de ocorrer um número par, \(A = \{2,4,6\}\) dado \(B\), obtemos que a possbilidaded é \(\Pi(A \mid B) = 1\). No entanto, se estamos interessados no evento “ocorrer um número par menor que quatro”, \(C = \{2\}\), então \(\Pi(C \mid B) = \pi(2 \mid B) = 0\). Em palavras, sabendo que a face voltada para cima será maior do que três, é impossível que ocorra um número par menor que quatro.